f := (x, y) -> 2 - (x^2 + y^2/2)
Significato geometrico della derivata direzionale
Claudio Marsan
Liceo cantonale di Mendrisio
via Agostini Maspoli
CH-6850 Mendrisio
ultima modifica: 08.12.2006
testato con:
MuPAD Pro 4.0.1 su Linux Ubuntu 6.10
MuPAD Pro 4.0.1 su Windows XP Professional sp2
La funzione
f := (x, y) -> 2 - (x^2 + y^2/2)
Il grafico di z = f(x, y)
gr_f := plot::Function3d(f(x, y), x = -3..3, y = -3..3, Color = RGB::Yellow.[0.75]):
plot(gr_f)
Il punto P0(x0, y0, z0)
x0 := 1.8: y0 := 1.4: z0 := f(x0, y0): p0 := [x0, y0, z0];
P0 := plot::PointList3d([p0], PointColor = RGB::Green, PointSize=2):
Il vettore direzionale u
alpha := 30*PI/180:
u := matrix([cos(alpha), sin(alpha), 0]);
gr_u := plot::Arrow3d(p0, u + p0):
Il vettore n_u normale al vettore direzionale u
n_u := matrix([-sin(alpha), cos(alpha), 0]):
gr_n_u := plot::Arrow3d(p0, n_u + p0):
Il piano alpha passante per il punto P0 e per il vettore u
piano := plot::Plane([x0, y0, 0], n_u, Color = RGB::AliceBlue.[0.5]):
La curva C di intersezione tra la superficie z = f(x, y) e il piano alpha
C := plot::Curve3d([t, tan(alpha)*(t - x0) + y0, f(t, tan(alpha)*(t - x0) + y0)],
t = -3..3, LineWidth = 0.55, LineColor = RGB::Red):
Il vettore v
v := matrix([cos(alpha), sin(alpha), u[1]*D([1], f)(x0, y0) + u[2]*D([2], f)(x0, y0)]):
gr_v := plot::Arrow3d(p0, v + p0):
La retta r, appartenente al piano alpha e tangente alla curva C nel punto P0
r := plot::Curve3d([x0 + t*v[1], y0 + t*v[2], z0 + t*v[3]],
t = -2..2, LineWidth = 0.55, LineColor = RGB::Black.[0.5]):
Il grafico con la superficie z = f(x, y), il piano alpha, la curva C, la tangente r, il punto P0 e i vettori u e v
plot(gr_f, piano, P0, C, r, gr_u, gr_v)
La pendenza della retta r รจ uguale alla derivata direzionale di f calcolata nel punto (x0, y0) nella direzione del vettore u